L'exposant de est égal à , son cardinal est .
mod $val6
on donnera la réponse sous la forme du représentant entre 0 et $val6-1.L'homomorphisme se factorise en un homomorphisme injectif
$m_ZZ/ $m_ZZ $m_to
On donnera la suite des facteurs invariants sous la forme avec avec des entiers nuls ou strictement supérieurs à 1 et vérifiant .
On considère le sous-groupe de engendré par les éléments et . On désire calculer les invariants (diviseurs élémentaires) de . L'exercice comporte 3 étapes. Attention, même si vous vous trompez, cela ne vous sera dit qu'à la fin.
Donnez un homomorphisme de dans $m_ZZ tel que l'image de soit maximale (on donnera par sa matrice dans la base canonique ) :
On a donc avec : =
Vous avez choisi de matrice $val11 et dit que l'image de par est $m_reply2 $m_ZZ. Donnez un élément de tel que soit dans et tel que : écrivez dans la base ( , ) :
Sans renseignement supplémentaire, que pouvez-vous affirmer (donner la réponse la plus précise) :
Si est d'ordre dans , l'ordre de dans est .
a-t-il d'éléments d'ordre ?
quel est l'ordre de la classe de ?
On peut l'écrire comme produit de groupes cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier (décomposition primaire). Donner la liste de leurs ordres (sans répétition)
.
Le théorème de structure dit qu'il est isomorphe à un unique groupeavec . Donner la liste des entiers .
On peut l'écrire comme produit de groupes cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier (décomposition primaire). Donner la liste de leurs ordres
.
Le théorème de structure dit qu'il est isomorphe à un unique groupeavec . Donner la liste des entiers .
et le sous-groupe engendré par l'image de ($val8). On désire calculer la structure du groupe quotient . Pour cela, on considère l'homomorphisme naturel . Donner un système générateur du noyau de l'homomorphisme déduit :
On écrira les vecteurs de en colonnes ; sur une ligne, séparer les composantes par une virgule ; aucun calcul n'est nécessaire, on ne demande qu'un système générateur.
Un système générateur du noyau de $m_psi est . (votre réponse était fausse). Calculer une base adaptée à et au groupe abélien engendré par .
, ,
Donner la structure de en donnant la suite des entiers avec .
On pourra s'aider de l'égalité suivante où les matrices carrées à gauche sont de déterminant $m_pm 1
$m_ZZ/ $m_ZZ $m_times $m_ZZ/ $m_ZZ
$m_ZZ/$(val10[$m_j]) $m_ZZ $m_times $m_ZZ/$(val10[$val6]) $m_ZZ
$m_ZZ/$(val9[$m_j]) $m_ZZ $m_times $m_ZZ/$(val9[$val6]) $m_ZZ
Il est d'ordre divisible par . Comme est abélien, il possède un sous-groupe d'ordre . Décrire un tel sous-groupe par ses générateurs.