On souhaite savoir si la prévalence d'une maladie M est liée ou non à l'âge. On interroge pour cela un échantillon de
personnes représentatif de la population. Les personnes sont réparties selon leur âge et leur état : $val30. Les effectifs de chaque classe sont décrits dans le tableau ci-dessous : $val32 Pour tester l'hypothèse
: "pour la maladie M, l'état d'un individu est indépendant de sa classe d'âge" contre l'hypothèse
: "pour la maladie M, l'état d'un individu dépend de sa classe d'âge", on effectue un test du
d'indépendance de niveau . On note
la variable de test.
Compléter le texte ci-dessous :
Sous l'hypothèse
, si les conditions d'approximation sont satisfaites, on peut approcher la loi de
par
la loi du
à$val38
degrés de liberté. (on supposera dans la suite que les conditions pour faire cette approximation sont satisfaites, on ne vous demande pas de vous en assurer).
La zone de rejet de l'hypothèse
est :
$val44
La valeur observée de la variable de test s'écrit :
où
désigne le nombre de personnes de l'échantillon appartenant à la
-ème classe d'âge et étant dans l'état
(i.e. l'effectif donné dans la case
du tableau ci-dessus).
est la valeur écrite dans la case
du tableau ci-dessous.
$val34
$(val29[$m_a])
$(val27[$m_b])
$(val33[$m_b;$m_c])
$val45
D'après les valeurs de
, les conditions pour approcher la loi de
sous
par une loi du
sont satisfaites. Après calcul, la valeur observée de la statistique de test est
Conclusion du test de niveau
: les résultats de l'expérience sont
$(val43[$val42])
avec l'hypothèse d'indépendance entre l'état de l'individu et son âge.
Avec les données de l'énoncé la p-valeur du test est :
.
$val44
Sondage 1
$val24 : $val25
%.
$val26
Sondage 2
$val27
$val24 :
$val28 :
le
va l'emporterle $val17 va l'emporter.
%.
$val26
Zone de rejet
On dispose d'une observation
d'une variable aléatoire
qui prend ses valeurs dans {0,...,$val9}. A l'aide de cette observation
, on veut effectuer un test d'une hypothèse
contre une hypothèse
au niveau $val7 %. Les lois de la variable aléatoire
sous les hypothèses
et
sont représentées par le graphique suivant (en bleu, la loi sous et en rouge, la loi sous ) :
xrange -2,$val12 yrange -$val24,$val23 segment -1,0, $val12,0, gray segment 0, -$val24,0,$val21,gray $val29 $val30 text black, -0.25, 0,small, 0 text black, $val9-0.1, 0,small, $val9 text black, -2, $val22+$val24/2, small, $val22 segment -0.1,$val22, 0.1,$val22, black
Cliquer sur la région qui correspond à la zone de rejet de l'hypothèse
.
NB :
et
désignent des entiers vérifiant
.
Bonne réponse : la zone de rejet de
est de la forme $val68.
Le tableau suivant donne quelques valeurs de la fonction de répartition de
sous
et sous
, notée respectivement
et
:
$val62
Déterminer la valeur de
pour avoir un test de niveau $val7 %.
.
Bonne réponse : au niveau $val7 %, la zone de rejet de
est $val68 avec
.
Calculer la valeur (en %) de $val66 du test ainsi défini.
%.
Donner le résultat avec au moins quatre chiffres significatifs.
La pièce est-elle bien équilibrée ?
Quelle est la probabilité pour qu'une pièce bien équilibrée tombe au moins $val11 fois sur "$val9" si on la lance $val7 fois ?
% $(val21[2])
$val6
$(val21[1]) $val17 % $(val21[2])
On lance une pièce $val7 fois de suite ; elle tombe $val11 fois sur "$val9" et $val12 fois sur "$val10".
Peut-on conclure, avec un risque de se tromper inférieur à $val13 %, que la pièce est déséquilibrée ?
La pièce est-elle biaisée ?
On dispose d'une pièce et on se demande si elle est biaisée et tombe plus facilement sur le côté "$val9". On la lance $val7 fois de suite ; elle tombe $val11 fois sur "$val9" et $val12 fois sur "$val10".
Quelle est la probabilité pour qu'une pièce bien équilibrée tombe au moins $val11 fois sur "$val9" si on la lance $val7 fois ?
% $val20
$val6
Il y a $val15 % $val20
Peut-on conclure, avec un risque de se tromper inférieur ou égal à $val16 %, que nous avons raison de penser qu'elle est biaisée en faveur de "$val9" ?
Réaction à un vaccin
Un vaccin est supposé induire une réaction grave dans 1 cas sur $val6.
Par quelle loi peut-on approcher la loi du nombre de personnes ayant une réaction grave sur $val10 personnes vaccinées ?
si la loi a plusieurs paramètres, les rentrer dans l'ordre usuel en séparant les valeurs par des virgules.
Bonne réponse : on peut l'approcher par une loi de Poisson de paramètre $val11 = $val12.
Questionnaire
Un examinateur donne un questionnaire comportant $val6 questions, chaque question ayant 2 réponses possibles. Si le candidat répond juste à au plus $val7 questions sur $val6, il considère que l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions.
$val11
Bonne réponse : la probabilité pour que l'examinateur rejette l'hypothèse selon laquelle l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions alors que celle-ci est vraie est de $val9.
Donnez vos réponses en gardant au moins 3 chiffres significatifs.
Test de la médiane
Un produit commercialisé est présenté dans des boîtes sur lesquelles on peut lire : contenance $val6 grammes. Les informations recueillies auprès du fabriquant permettent d'affirmer que dans ce cas la valeur de $val6 grammes est censée représenter la médiane d'une variable aléatoire
à densité. Un échantillon de $val7 boîtes est prélevé. Sur les $val7 boîtes, $val8 boîtes ont une contenance inférieure à $val6 grammes.
Peut-on conclure avec un risque de se tromper inférieur ou égal à $val9 % que $val16 ?
Poids d'un paquet de farine
Le poids (en grammes) de farine contenue dans un paquet peut être modélisé par une variable aléatoire de loi normale
avec
inconnu et
g. Sur le paquet, il est indiqué Poids : 1 kg .
Calculer la valeur minimale de
qui assure que moins de $val9 % des paquets aient un poids inférieur à 1 kg.
g
Donnez votre réponse en grammes au centième de gramme près
Réponse : il faut que
soit au moins égal à $val11 g pour que moins de $val9 % des paquets aient un poids inférieur à 1 kg.
Un contrôleur pèse $val6 paquets pris au hasard dans la production. Le poids moyen de ces $val6 paquets est de $val15 g. Peut-on conclure avec un risque de se tromper inférieur ou égal à $val9 % que
est strictement inférieur à 1000 g ?
Tension artérielle 1
$val32 :
$val11
$val33
$val34 ?
Le médecin fait le test : $val25 .
$val35
%
$val36
Tension artérielle 2
$val33
$val34 ?
Le médecin fait le test : $val25 .
$val32 :
$val11
$val35
%
$val36
$val37 : $val28
Que conclut le medecin s'il fait un test de niveau $val39 % ?
Pourcentage de pièces défectueuses
Un fabricant affirme qu'au moins $val16% de l'équipement qu'il fournit à un dépositaire est conforme au cahier des charges. L'examen de $val6 pièces prises au hasard parmi les pièces fournies montre que $val11 pièces sont défectueuses (c'est-à-dire non conformes au cahier des charges).
%
$val23
$val27 ?
Le pourcentage de pièces défectueuses parmi les pièces testées est $val14.
$val28 ?
Bonne réponse : on peut approcher la loi du nombre de pièces défectueuses par une loi Binomiale.
Que dire de l'affirmation du fabricant au niveau de $val18 % ?
Bonne réponse : au niveau $val18 %, $val26.
Combien de composants défectueux doit-on observer dans l'ensemble des $val6 pièces testées pour rejeter l'affirmation du fabricant au niveau $val18 % ?
.
Test du chi-deux d'ajustement 1
On nous dit que le tableau suivant a été obtenu en tirant
nombres au hasard entre
et
:
$val24
On cherche à tester si les nombres sont répartis uniformément. $val38
$val42
.
$val27
$val43 $val20.
$val41 Est-il raisonnable d'approcher la loi de la variable de test par une loi du
sous
?
.
Bonne réponse : on peut approcher la loi de la variable de test par une loi du
sous
.
Donner le degré de liberté de la loi du
qui approche la loi de la variable de test sous
et calculer la valeur observée de la variable de test.
.
.
$val27
Bonnes réponses :
la loi de la variable de test sous
peut être approchée par une loi du
à
degrés de liberté.
La valeur observée de la variable de test est
.
$val37
$val40
Test du chi-deux d'ajustement 2
On nous dit que le tableau suivant a été obtenu en tirant
nombres au hasard entre
et
:
$val24
On cherche à tester si les nombres sont répartis uniformément. $val41
$val37
.
$val27
$val38 $val20.
$val42 Est-il raisonnable d'approcher la loi de la variable de test par une loi du
sous
?
.
Bonne réponse : on peut approcher la loi de la variable de test par une loi du
sous
.
Donner le degré de liberté de la loi du
qui approche la loi de la variable de test sous
et calculer la valeur observée de la variable de test.
.
.
$val27
Bonnes réponses :
la loi de la variable de test sous
peut être approchée par une loi du
à
degrés de liberté.
La valeur observée de la variable de test est
.
$val39
$val40
Vocabulaire sur les tests
On effectue un test d'une hypothèse
contre une hypothèse
au niveau $val15 % à l'aide de l'observation
d'une variable aléatoire
.
Sur la figure ci-dessous, on a représenté la densité de la loi de
sous en bleu et la densité de la loi de
sous en rouge.
La zone de rejet de
est de la forme :
$val26
Sur l'une de ces figures, l'aire de la zone coloriée en jaune correspond à $val47 du test. Cliquez sur cette figure.
Bonne réponse, sur la figure ci-dessous l'aire de la zone coloriée en jaune correspond à $val47 du test.
$val61
Si le seuil de signification du test (appelé aussi la p-valeur) pour la valeur observée
est de $val19 % alors cela signifie que pour le test de niveau $val15 %
.
$m_reply3.