Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de $val15 le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever
et d'analyser un échantillon d'eau de la source.
$val7 échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon.
L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable :
dans seulement $val16 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau polluée indiquera que l'eau est polluée.
dans seulement $val17 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau saine indiquera que l'eau est non polluée.
Si l'eau contenue dans
$val9 échantillons sur
l'échantillon prélévé
les $val7 échantillons prélévés
est déclarée $val11 par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité pour que le maire se trompe en déclarant que l'eau
Analyse d'échantillons d'eau 2
Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de $val15 le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever et d'analyser un échantillon d'eau de la source. L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable :
dans seulement $val16 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau polluée indiquera que l'eau est polluée.
dans seulement $val17 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau saine indiquera que l'eau est non polluée.
1- Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée $val11 par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité pour que le maire se trompe en déclarant que l'eau
$val12 ?
Bonne réponse ! Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée $val11 par l'analyse effectuée, le maire a une probabilité égale à $val26 de se tromper en déclarant que l'eau $val12.
2- On suppose que pour diminuer le risque de se tromper, l'employé municipal est chargé de prélever $val7 échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon. Si l'eau contenue dans
$val9 échantillons sur
les $val7 échantillons prélévés est déclarée $val11 par l'analyse effectuée, quelle est alors la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau
Dépouillement d'un vote I
Lors d'un vote dans une entreprise, les électeurs devaient choisir entre $val6 listes. Sur les $val7 bulletins, il y a : $val12
$val24
$val17 ?
$val26
Dépouillement d'un vote II
Lors d'un vote dans une entreprise, les électeurs devaient choisir entre $val6 listes. Sur les $val7 bulletins, il y a : $val12
1- $val24
$val17 ?
Bonne réponse ! La probabilité d'obtenir ce dépouillement est $val10
$val18.
2- Déterminer la probabilité pour que parmi les $val15 premiers bulletins dépouillés, il y ait $val25
$val26
Des jetons dans des sacs
On dispose de $val6 sacs contenant des jetons noirs et blancs : $val23 Une personne lance un dé à 6 faces. $val26
Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré soit
$val18 ?
Bonne réponse, la probabilité de tirer un jeton $val18 est $val20.
On sait que la personne a tiré un jeton $val18.
Ecrire le résultat en gardant au moins quatre chiffres significatifs.
Phénotypes
Supposons que dans une population, on observe $(val10[$val6]) phénotypes différents notés $val12 et $val13 avec la répartition suivante parmi les $val17 de famille : $val32.
Le tableau suivant donne la proportion d'enfants de phénotype donné en fonction du phénotype $val22 $val18.
$val33
Par exemple, le tableau indique que $(val30[1;1])% des enfants dont $val23 $val18 est de phénotype A ont le phénotype A.
On choisit un enfant au hasard dans cette population.
Quelle est la probabilité qu'il $val40 le phénotype $val25 $val45 ?
Bonne réponse. La probabilité qu'il $val40 le phénotype $val25 $val45 est $val54.
L'enfant choisi $val42 le phénotype $val25. Quelle est la probabilité que $val24 $val18 $val41 le phénotype $val26 ?
Ecrire la valeur en gardant au moins quatre chiffres significatifs.
Probabilité conditionnelle
On considère une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats est noté
. On note
une probabilité sur
associée à cette expérience aléatoire. On s'intéresse à deux événements
et
qui ont une probabilité strictement comprise entre 0 et 1 d'être réalisés. On suppose connu
,
et
.
Donner l'expression de
en fonction de
,
et
.
Ne pas oublier de mettre l'opérateur * pour multiplier deux expressions.
Efficacité d'un vaccin
$val6 % de la population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate que la proportion de vaccinés parmi les malades est de $val14=$val15. On sait de plus qu'au cours de cette épidémie, il y avait une proportion de $val12=$val16 malades parmi les vaccinés.
Quel est le pourcentage de personnes qui $val20 malades durant cette épidémie ?
Bonne réponse, au cours de cette épidémie, $val21 % des personnes $val20 malades.
En se basant uniquement sur ces informations, quelle est la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée ?
Ecrire la probabilité en gardant au moins quatre chiffres significatifs.
Bonne réponse, la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée est $val22.
Le vaccin est-il efficace ?
Infection virale
Dans une population donnée, $val6 % des victimes d'une infection virale présente un symptôme qui n'atteint que $val8 % de la population non infectée. On sait de plus que $val7 % de la population présente ce symptôme.
Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population $val15 infecté ?
Bonne réponse, la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population $val15 infecté est $val20.
Quelle est la probabilité qu'un individu présentant le symptôme $val16 infecté ?
Bonne réponse, la probabilité qu'un individu présentant le symptôme, $val16 infecté est $val21.
Quelle est la probabilité qu'un individu ne présentant pas le symptôme, $val17 infecté ?
Ecrire la probabilité en gardant quatre chiffres significatifs.
Calculs avec des événements indépendants
On suppose que
,
et
sont des événements indépendants de probabilité respectivement
,
et
.
Exprimer en fonction de
,
et
la probabilité de l'événement
:
Indépendance d'événements : propriétés
Soit (
) un espace de probabilité et
,
et
trois événements. Les affirmations suivantes sont-elles toujours vraies ?
1. Si
$val51 et si
$val52, alors $val53.
2. Si
$val57 et si
$val58, alors $val59.
3. Si
$val63 et si
$val64, alors $val65.
Signes diagnostiques
Une maladie M atteint $val7 % de la population. On s'intéresse à deux signes diagnostiques notés
et
. La présence d'un signe diagnostique
est notée
et son absence est notée
. Par exemple, les individus
sont ceux qui présentent le signe
et qui ne présentent pas le signe
.
Le tableau suivant donne les proportions des différents signes diagnostiques chez les individus qui ne sont pas atteints par la maladie M :
Répondre aux questions suivantes, en se référant au tableau.
Quelle probabilité un individu non malade a-t-il de $(val52[1;$val50]) $(val49[$val47]) ?
$val58.
Quelle probabilité un individu non malade $(val52[2;$val50]) $(val49[$val47]) a-t-il de $(val52[1;$val51]) $(val49[$val48]) ?
$val59.
Chez les individus sains, les signes diagnostiques
et
sont-ils indépendants ?
$(val54[$val60]).
Chez les individus atteints de la maladie M, les proportions des différents signes diagnostiques sont :
Quelle probabilité un individu $val65 a-t-il d'être atteint par la maladie M ?
Ecrire les résultats numériques en gardant quatre chiffres significatifs
Traduction probabiliste
$val10 On note
l'événement "$val11",
l'événement "$val12".
Compléter l'assertion suivante : la probabilité pour que $val19 s'écrit :