Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Soit
une variable aléatoire de loi binomiale
.
Si on décide d'approcher la loi de
par une loi normale, on utilise une loi normale d'
$val63 $val9
et de
.
$val64 $val10.
$val61
En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale
sur l'intervalle [$val14;$val15]. En rouge, la densité de la loi normale
.
On va utiliser cette approximation pour calculer
.
Faire le calcul en utilisant l'approximation par la loi normale, avec la correction de continuité, revient à écrire que :
(
)
(
)
où
est une variable aléatoire de loi normale
.
Pour faire le calcul, on écrit l'événement à l'aide d'une variable aléatoire
de loi
:
(
)
(
)
( $val34
$val35 )
(
$val34 )
On en déduit que
= $val33
.
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la fonction de répartition de la loi
, notée
:
$val48
On en déduit que
= $val27
.
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Soit
une variable aléatoire de loi binomiale
.
Si on décide d'approcher la loi de
par une loi de Poisson, on utilise une loi de Poisson de
$val57 $val9
.
$val58 $val11
et l'écart-type de la loi de Poisson
$val55
$val59 $val12
$val54
En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale
sur l'intervalle [$val15;$val16]. En rouge, le diagramme en bâtons de la loi de Poisson
.
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la fonction de répartition de
(notée
) et de la fonction de répartition de la loi de Poisson
(notée
) à
près :
$val41
La valeur de $val22 obtenue en utilisant la fonction de répartition de
$val59 $val26
.
La valeur approchée de $val22 obtenue en utilisant l'approximation de la fonction de répartition de
par celle de la loi de Poisson
$val55
$val59 $val29.
L'erreur relative que l'on commet en faisant l'approximation de la loi de
par la loi de Poisson
pour calculer $val22
%.
$val55
Le décalage d'une montre
On s'aperçoit qu'une montre se décale de plus ou moins $val8 secondes chaque jour. On modélise le décalage quotidien en secondes de l'heure indiquée par une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [-$val8, $val8].
Le décalage (en secondes) que cette montre risque de prendre au bout de $val7 jours suit approximativement
$val27
$val29 normale
$val30 0
et
.
$val31 $val9.
On cherche à calculer la probabilité, notée
, qu'au bout de $val7 jours la montre $val23 d'au moins $val16. Utiliser l'approximation de la loi du décalage par la loi normale
, revient à écrire :
avec
$val28
$val25
De cette façon,
$val28
$val32
$val18.
Pour obtenir un encadrement de
, on va utiliser l'inégalité de Berry-Esseen :
Soit
,
,
, ..., une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi ayant un moment d'ordre 3 fini. Posons
leur espérance,
leur écart-type et
. Alors,
pour tout
et
avec
(constante obtenue par V. Korolev et I. Shevtsova (2010)).
Ici,
$val7
,
0
,
$val10
et
$val28
$val11.
On en déduit donc
.
$val28
Approximation de lois classiques
$val19
$(val13[1])
de
$(val13[2]) ( $(val13[3..-1]) ) ?
$val21
$val22 : $val9
Séparez les deux valeurs par une virgule et gardez au moins 4 chiffres significatifs.
Réaction à un vaccin
$val24 $val7.
$val25
$val28 ? $val34 $val35
avec
$val12
.
$val27
$val8 = $val9.
$val29 ?
$val25 $val27
La loi de
peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre $val13=$val14.
.
$val27
Table de mortalité
Dans $(val7[1]), on estime à $val13 % $(val12[3]) $(val12[1]). On s'intéresse au devenir de $val15 nouveau-nés de $(val7[2]).
On peut considérer que, dans ce groupe de $val15, le nombre $(val12[2]), est une variable aléatoire
qui suit
Les paramètres doivent être séparés par des virgules et mis dans l'ordre usuel.
$val53 binomiale
.
On cherche à calculer une valeur approchée de la probabilité pour que
.
On va approcher la loi de
par
ne faites un calcul exact que si les critères d'approximation ne sont pas satisfaits.
Vous choisissez d'approcher la loi de
par $m_reply3
.
En faisant la correction de continuité, vous obtenez
.
Vous choisissez d'approcher la loi de
par $m_reply3
.