Quelle est la formule de la fonction affine représentée par la droite D en $(val27[$(val25[1])]) ci-dessous ?
$val28
Votre réponse.
.
Nombre de clients en attente 2
$val9
Un jour $val18 clients attendent la première $val10 à $val20 h.
Il y a une $val11 chaque $val13. Chaque $val11 prend $val16 personnes et un $val12 limite strictement l'entrée à ce nombre. Mais il arrive $val24 nouvelles personnes à l'entrée chaque $val13 jusqu'à $val22 h.
On note
l'heure où la
-ième $val11 $val15 avec
et
. On note
le nombre de personnes qui attendent à l'entrée la
-ième $val11 ; ainsi
.
A quelle heure $val15 la
ième $val11 c'est-à-dire
?
h (heure décimale)
.
personnes.
Voir dans l'indication un dessin pour comprendre la situation et des conseils de méthode.
Fonctions affines et proportionnalité des écarts
Il s'agit de reconstituer la démonstration de la propriété :
Si une fonction
définie sur
est affine alors les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
.
Et démontrer aussi la réciproque :
Si pour une fonction
définie sur
, les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
alors la fonction
est affine.
Rappelons que
est l'ensemble des nombres réels c'est-à-dire $val6 et précisons les définitions.
Une fonction
définie sur
est affine signifie qu'il existe deux nombres réels
et
tels que pour tous les nombres réels
,
.
Pour une fonction
définie sur
, les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
signifie qu'il existe un nombre réel
tel que pour tous les nombres réels
et
,
.
Compléter les démonstrations suivantes en utilisant l'une des deux expressions situées en dessous :
Soit
une fonction affine définie sur $m_RR, alors
et
tels que
,
.
En particulier,
et
,
et
donc
.
Ainsi en prenant
, on peut affirmer que
tel que
et
,
.
Ceci démontre que :
Si une fonction
définie sur
est affine alors les écarts sur ses images
par
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
.
Réciproquement :
Soit
une fonction définie sur
telle que les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
.
Alors
tel que
et
,
.
En particulier,
et 0,
donc
.
Ainsi en prenant
et
, on peut affirmer que
et
tels que
,
.
Ceci démontre que :
Si pour une fonction
définie sur
, les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
alors la fonction
est affine.
Trouver les opérateurs et résoudre une équation 2
Placer les opérations dans les cases :
$val24
$val32
Trouver les opérations réciproques :
$val23
$val26
$val24
$val32
$val24
$val32
On veut résoudre l'équation $val32 = $val13 c'est-à-dire retrouver l'antécédent de $val13.
$val23
$val26
$val24
$val32
=
=
=
$val13
$val25
$val21
Autrement dit : L'équation $val32 = $val13 équivaut à :
$val24 =
=
Trouver les opérateurs et résoudre une équation
Placer les opérations dans les cases pour obtenir
en deux étapes :
$val20
Trouver les opérations réciproques :
$val19
$val21
$val20
$val20
On veut résoudre l'équation
c'est-à-dire retrouver l'antécédent de $val14.
$val19
$val21
$val20
=
=
=
$val14
$val24
$val23
Autrement dit : L'équation
équivaut à :
Coût d'un lot de savons
Pour un achat par correspondance de savons parfumés, on paye un prix fixe pour l'envoi par la Poste et un prix proportionnel au nombre de savons.
Le prix total pour $val20 savons est $val21 euros et pour $val23 savons, il est de $val24 euros.
Quel est le prix pour la commande de $val25 savons ?
Quel est le prix pour la commande de
savons ?
$val16
Le prix total pour $val25 savons (soit $val23 + $val22) est :
euros.
Compléter la dernière colonne du tableau et écrire la formule en dessous.
coût $val21 €
coût $val24 €
€
€
€
€
€
Compléter le schéma où
est le prix d'un savon et
le prix de l'envoi par la Poste.
Calculer de combien augmente le nombre de savons entre $val20 et $val23 ? et le prix ?
Entre $val23 et $val25, le nombre de savons augmente de $val27 et on peut ainsi calculer le prix de $val25 savons.
$val20
= $val21
+
+
+
$val23
= $val24
+ $val27
+
+ ?
$val25
=
Connaissant le coût supplémentaire pour $val27 savons, on en déduit que le prix supplémentaire pour chaque savon est :
€.
On peut maintenant déduire le prix de
savons par rapport à celui de $val20 savons.
$val20
= $val21
+
+
+
*
= ?
Compléter le tableau.
+
Nombre de savons
0
$val20
$val23
$val25
$val29
Prix total
$val21
$val24
(prix du transport)
+
Entre $val20 et $val23, de combien augmente le nombre de savons ? et le prix ? En déduire le prix de $val25 savons, soit $val23 + $val22 savons.
Connaissant le prix supplémentaire pour $val27 savons, il est facile de trouver que le prix supplémentaire pour un savon est :
€ et en déduire le prix de $val29 savons puis le prix du transport.
Si on achète en tout
savons, le coût supplémentaire par rapport au prix de $val20 savons est :
* (
) €.
Ce qui donne au total :
Recopier le graphique ci-dessous où le point A a pour coordonnées ($val20;$val21) et B ($val23;$val24). La fonction qui à
savons associe le coût de la commande est une fonction affine. Sa courbe est la droite (AB) et son coefficient directeur est :
=
/
=
Ce qui représente l'écart du coût divisé par l'écart du nombre de savons, autrement dit le coût d'un savon supplémentaire. Par ailleurs, si on commande $val25 savons, soit $val23 + $val22, le prix est :
€euro; La première information nous permet d'écrire : $val20
+
= $val21 Quel est l'ordonnée à l'origine
?
Elle représente le coût du transport.
On cherche le prix de chaque savon
et celui du transport
.
Les données se traduisent par les équations :
$val20
+
= $val21
$val23
+
= $val24
Pour résoudre ce système de deux équations, on peut soustraire la première équation à la deuxième.
+
=
$val24
=
_____________
__
___
___
_______________
+
0
=
=
Substituer la valeur de
à
dans la première équation pour en déduire
.
Vous pouvez écrire l'opération ou le résultat, utilisez * pour multiplier, / pour diviser et écrire les nombres décimaux avec un point à la place de la virgule. Par exemple,
+4,25 s'écrit 7*21/3+4.25
Coût d'un lot d'objets
Pour un achat de $val9 par correspondance, on paye un prix fixe pour l'envoi par la Poste et un prix proportionnel au nombre de $val9. Le prix total pour $val12 $val9 est $val13 € et pour $val14 $val9, il est de $val15€.
€.
€.
€.
€.
Coût d'une quantité variable continue
La facture $val11 comporte un prix fixe pour $val13 et un prix proportionnel à la quantité $val11. Le prix total pour $val23 $val12 $val11 est $val24 € et pour $val25 $val12 $val11, il est de $val26 €.
?
€
€
€.
:
€
Décomposer et résoudre une équation
Décomposer
.
Trouver les opérations réciproques :
$val19
$val21
$val20
$val20
On veut résoudre l'équation
c'est-à-dire retrouver l'antécédent de $val13.
$val19
$val21
$val20
$val13
$val24
$val23
Autrement dit l'équation
équivaut à :
Trouver une fonction affine 1
On considère la fonction affine
telle que :
et
Le coefficient directeur de
est bien $val7. Compléter :
)
Déterminer la fonction affine
en développant :
Le meilleur tarif
Deux entreprises : "Petit Avion" (PA) et "Grand Train" (GT) proposent leurs tarifs pour fournir des tee-shirts à une association. PA fournit les tee-shirts à $val22 € pièce et facture $val25 € les frais de transport de l'ensemble des tee-shirts. GT fournit les tee-shirts à $val21 € pièce et facture $val26 € les frais de transport. Le but de l'exercice est de savoir pour combien de tee-shirts l'entreprise PA coûte moins cher que GT pour l'association.
$val15
Il s'agit de réaliser le graphique sur une feuille.
L'association achètera au maximum $val29 tee-shirts et le coût sera certainement inférieur à $val33 €.
€
Le prix pour $val29 tee-shirts avec PA est : $val31 €
€
Ces informations permettent de réaliser le graphique.
Le graphique doit se présenter comme ceci :
Il reste à tracer les droites qui représentent les coûts de PA et GT en fonction du nombre de tee-shirts, en joignant les points de coordonnées (0;$val25) à ($val29;$val31) et de (0;$val26) à ($val29;$val32).
On note
et
le coût de
tee-shirts, transport compris, respectivement pour PA et GT.
Le prix total pour
tee-shirts avec PA est
€
Le prix total pour
tee-shirts avec GT est
€
L'équation
équivaut à :
L'équation
équivaut à
= $val17
$val27 et
$val28
L'association achètera au maximum $val29 tee-shirts et le coût sera certainement inférieur à $val33 €.
:
€
:
€
Il est pratique d'utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice pour déterminer les valeurs ci-dessus.
Entrer dans la calculatrice les fonctions :
$val27 et
$val28
Définir la fenêtre :
Xmin=0
Xmax=$val29
Ymin=0
Ymax=$val33
Afficher le graphique pour comparer les tarifs. On peut utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice pour comparer les tarifs de façon précise.
L'inéquation
équivaut à :
L'inéquation
équivaut à
$val43 $val17
.
Rencontre de trains 1
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de $val8 km.
Le train N°1 part de Arnes à $val6 h et arrive à Buluc $val27 h $val26 min.
Le train N°2 part de Buluc à $val25 h $val24 min et arrive à Arnes $val29 h $val28 min.
A quel instant les deux trains se croiseront-ils ? Réponse :
h
Rencontre de trains 2
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de $val8 km.
Le train N°1 part de Arnes à $val6 h et arrive à Buluc $val27 h $val26 min.
Le train N°2 part de Buluc à $val25 h $val24 min et arrive à Arnes $val29 h $val28 min.
A quel instant les deux trains se croiseront-ils ? Réponse :
h
A quelle distance de Arnes se croiseront-ils ? Réponse :
km de Arnes.
Rencontre de trains 3
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de $val8 km.
Le train N°1 part de Arnes à $val22 h $val21 min et arrive à Buluc $val26 h $val25 min à la vitesse de $val29 km/min.
Le train N°2 part de Buluc à $val24 h $val23 min et arrive à Arnes $val28 h $val27 min à la vitesse de $val30 km/min.
A quelle heure les deux trains se croiseront-ils (à 5 minutes près) ?
Réponse :
h
A quelle distance de Arnes se croiseront-ils (à 5 km près) ?
Réponse :
km de Arnes.
Rencontre de trains 4
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de $val12 km.
Le train N°1 part de Arnes vers Buluc à $val6 h à la vitesse de $val17 km/h.
Le train N°2 part de Buluc vers Arnes à $val23 h à la vitesse de $val18 km/h.
Donner l'expression de la distance en km de chaque train par rapport à Arnes, en fonction du nombre
de minutes écoulées depuis $val6 h.
pour le train 1.
pour le train 2.
A quel instant les deux trains se croiseront-ils ?
h
Tableau de valeurs pour un achat par correspondance
Pour un achat par correspondance de $val6, on paye un certain prix fixe pour le transport et un prix proportionnel au nombre de $val6.
Un lot de $val9 $val6 coûte $val12 €, et un lot de $val11 $val6 coûte $val13 €.
Compléter le tableau suivant (le prix du transport correspond à un achat de 0 objet):
Tableau de valeurs d'une fonction affine 1
$val24
Tableau de valeurs d'une fonction affine 2
$val21
Tableau de valeurs d'une fonction affine 3
$val22
Numéro d'un contrôle
Tous les $val14 ans, $val13.
Répondre par un nombre entier.
La vedette de Bréhat
Un jour $val18 clients attendent la première vedette pour l'île de Bréhat à $val20 h.
Il y a une vedette chaque demi-heure. Chaque vedette prend $val16 personnes et un matelot limite strictement l'entrée à ce nombre. Mais il arrive $val24 nouvelles personnes à l'entrée chaque demi-heure jusqu'à $val22 h.
On note
l'heure où la
-ième vedette arrive avec
et
. On note
le nombre de personnes qui attendent à l'entrée la
-ième vedette ; ainsi
.
Voici les questions de ce problème :
A quelle heure arrive la
ième vedette c'est-à-dire
?
Quel est le numéro d'ordre de la vedette qui arrive à $val22 h ?
Quelle est la nature de la suite
et sa raison ?
Combien de personnes attendent à l'entrée la vedette qui arrive à $val22 h ?
$val15
Voici l'aide pour la méthode $val46.
Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.
Complétez les flèches au brouillon avec les données du problème. Ceci aide à répondre à la question 3.
Réaliser un tableau comme celui-ci au brouillon ou sur un tableur et le compléter.
$val40
Il est facile de déterminer la raison de chacune des suites
et
. Mais attention l'indice de départ est ici
.
La formule générale classique utilise la valeur d'indice 0 qui n'a pas de sens ici.
On peut :
soit calculer les valeurs fictives de
et
,
soit utiliser la formule
.
Répondre maintenant aux questions :
h (heure décimale).
.
.
personnes.
La vedette de Bréhat 2
Un jour $val18 clients attendent la première vedette pour l'île de Bréhat à $val20 h.
Il y a une vedette chaque demi-heure. Chaque vedette prend $val16 personnes et un matelot limite strictement l'entrée à ce nombre. Mais il arrive $val24 nouvelles personnes à l'entrée chaque demi-heure jusqu'à $val22 h.
On note
l'heure où la
-ième vedette arrive avec
et
. On note
le nombre de personnes qui attendent à l'entrée la
-ième vedette ; ainsi
.
Voici les questions de ce problème :
A quelle heure arrive la
ième vedette c'est-à-dire
?
Quel est le numéro d'ordre de la vedette qui arrive à $val22 h ?
Quelle est la nature de la suite
et sa raison ?
Combien de personnes attendent à l'entrée la vedette qui arrive à $val22 h ?
$val15
h (heure décimale).
.
.
personnes.
Voici l'aide pour la méthode $val46.
Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.
Complétez les flèches au brouillon avec les données du problème. Ceci aide à répondre à la question 3.
Réaliser un tableau comme celui-ci au brouillon ou sur un tableur et le compléter.
$val40
Il est facile de déterminer la raison de chacune des suites
et
. Mais attention l'indice de départ est ici
.
La formule générale classique utilise la valeur d'indice 0 qui n'a pas de sens ici.
On peut :
soit calculer les valeurs fictives de
et
,
soit utiliser la formule
.
Choisir ensuite soit une autre aide soit de répondre aux questions.
Coût d'un lot de voitures miniatures
Pour un achat par correspondance de voitures miniatures, on paye un prix fixe pour l'envoi par la Poste et un prix proportionnel au nombre de voitures.
Le prix total pour $val8 voitures miniatures $val9 euros et pour $val10, il est de $val11 euros.