$val40

$val38

Étape $m_step

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à :

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation $val37

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de à . Les valeurs des images peuvent être arrondi au centième.

Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur approchée de à ?

La valeur arrondie à est donc

Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre ou . Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.

Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de .

Méthode par balayage avec seuil (guidée)

$val40

$val38

Étape $m_step

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à :

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation $val37

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de à . Les valeurs des images peuvent être arrondi au centième.

Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur approchée de à ?

La valeur arrondie à est donc

Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre ou . Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.

Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de .

Méthode par balayage classique

$val38

$val36

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à :

$val41

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation $val35

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer la valeur approchée de à .

La valeur arrondie à est donc

Méthode par balayage avec seuil

$val38

$val36

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à :

$val41

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation $val35

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer la valeur approchée de à .

La valeur arrondie à est donc

Méthode par balayage avec une fonction

$val38

$val36

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à :

$val41

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation $val35

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer la valeur approchée de à .

La valeur arrondie à est donc

Construction de la courbe par la méthode de balayage en utilisant une boucle for

$val36

$val37

Découpage de la courbe en intervalles :

Soit et deux nombres réels définis tel que .
Dans un intervalle continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction on découpe l'intervalle en un nombre fini de intervalles.

$val35

Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index :

$val42

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val45

Méthode par dichotomie

$val38

$val36

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à :

$val41

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation $val35

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, la valeur arrondie à de est donc

Équation cartésienne d'une droite

$val36

$val41

Déterminer une équation cartésienne de la droite :

L'équation cartésienne de la droite est :

$val48

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val51

Équation réduite d'une droite

$val36

$val41

Déterminer une équation réduite de la droite :

Donner la formule permettant le calcul du coefficient directeur lorsque les coordonnées de 2 points et sont connues :
Pour écrire correctement , taper x_A . Pour écrire correctement , taper y_A ...
Déterminer la valeur du coefficient directeur sous forme fractionnaire si nécessaire :
Donner l'équation réduite de la droite en utilisant les calculs précédents :
Le point appartient à la droite donc on peut écrire l'équation suivante :
Résoudre l'équation précédente et déterminer la valeur de .
En déduire l'équation réduite de la droite :

$val47

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val50

Équation réduite d'une droite 2

$val36

$val45

Déterminer une équation réduite de la droite :

Compléter le champ permettant de donner l'équation réduite de la droite et laisser l'autre champ vide :

$val51

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val54

Construction de la courbe par la méthode d'Euler

$val36

$val37

Approximation affine d'une fonction :

Soit une fonction dérivable sur un intervalle et . La fonction peut être approchée par une fonction affine au voisinage de . L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction au voisinage d’un point par celle d'une fonction affine tangente à ce point. Graphiquement on considère que les points et sont confondues lorque est proche de 0.

Déterminer l'équation de la tangente en fonction de , , et .
Pour écrire correctement , taper x_0 .
Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse en fonction de , , et ?
Pour proche de zéro,
Vérifier la validité de cette formule sur un exemple :
Pour proche de zéro,
Arrondir les résultats au millième.
À l'aide de l'approximation, on a

La valeur exacte est de

Application à la fonction exponentielle :

La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe de la fonction en utilisant l'approximation affine.

À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée du point en fonction de la fonction et de .
En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
Généraliser cette écriture en exprimant en fonction de et .
Généraliser l'écriture de en fonction de et .

$val45

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val56

Construction de la courbe par la méthode d'Euler 2

$val36

$val37

Approximation affine d'une fonction :

Déterminer l'équation de la tangente en fonction de , , et .
Pour écrire correctement , taper x_0 .
Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse en fonction de , , et ?
Pour proche de zéro,
Vérifier la validité de cette formule sur un exemple :
Pour proche de zéro,
Arrondir les résultats au millième.
À l'aide de l'approximation, on a

La valeur exacte est de

Application à la fonction exponentielle :

La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe de la fonction en utilisant l'approximation affine.

À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée du point en fonction de la fonction et de .
En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
Généraliser cette écriture en exprimant en fonction de et .
Généraliser l'écriture de en fonction de et .

En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de en fonction de et .
En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de en fonction de et .
En déduire une expression de en fonction de et .

$val46

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val57

heron 1

$val47

$val48

$val49

$val53

ÉTAPE $m_step sur 5

La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.

$val24

Étape	Largeur	Longeur	Moyenne arithmétique	Moyenne arithmétique au carré
1
1	$val25	$val26	$val27	$val28
2
2	$val29	$val30	$val31	$val32
3
3	$val33	$val34	$val35	$val36
4
4	$val37	$val38	$val39	$val40

Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :

Nommer la figure obtenue :
Quelle est l'aire théorique de cette figure :
Quelle est la distance théorique d'un côté :

٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme

Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de traité précédement. Exécuter la fonction en prenant soin de spécifier la précision adéquate.

$val84

Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :

Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable . Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :

Racine carré	Précision	Valeur de la racine	Nombre d'itération

heron 2

$val47

$val48

$val49

$val53

ÉTAPE $m_step sur 5

La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.

$val24

Étape	Largeur	Longeur	Moyenne arithmétique	Moyenne arithmétique au carré
1
1	$val25	$val26	$val27	$val28
2
2	$val29	$val30	$val31	$val32
3
3	$val33	$val34	$val35	$val36
4
4	$val37	$val38	$val39	$val40

Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :

Nommer la figure obtenue :
Quelle est l'aire théorique de cette figure :
Quelle est la distance théorique d'un côté :

٭Modéliser cette suite par récurrence pour calculer

Compléter le tableau en utilisant les résultats précédents.

n		Moyenne arithmétique
0
1
2
3

En déduire la suite définie par récurrence pour calculer .

L'expresion se rentre "u_n". Par analogie, l'expression se rentre "u_0" ...

On définit la suite par :

le premier terme :
la relation de récurrence :

٭Étudier graphiquement la convergence de la suite pour calculer

On considère la suite définie par la relation de récurrence . À l'aide de la relation précédente, on a:
- =
- =
- =
Définir la fonction pour étudier cette suite :
En modifiant les curseurs du fichier GeoGebra, déterminer :
Pour modifier finement un curseur, utiliser les flèches du clavier et appuyer simultanément sur la touche "shift".
- Une valeur approchée de
- Une valeur approchée de
- Les changements de la valeur modifient :
- Les modifications de la valeur ne modifient pas :
- Quelle que soit la valeur , la suite vers .

$val83

٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme

$val86

Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :

Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable . Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :

Racine carré	Précision	Valeur de la racine	Nombre d'itération

Méthode des milieux

$val36

$val38

Découpage de la courbe en intervalles :

Soit et deux nombres réels définis tel que .
Dans un intervalle continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction on découpe l'intervalle en un nombre fini de intervalles.

$val35

Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index :

Après avoir découper l'intervalle , on utilise la méthode des milieux.

$val37

Déterminer l'aire du premier rectangle orange en fonction de , et :
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des rectangles oranges en fonction de , et :

$val46

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val49

Méthode des rectangles

$val36

$val38

Découpage de la courbe en intervalles :

Soit et deux nombres réels définis tel que .
Dans un intervalle continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction on découpe l'intervalle en un nombre fini de intervalles.

$val35

Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index :

Après avoir découper l'intervalle , on utilise la méthode des rectangles à droite et à gauche.

$val37

Déterminer l'aire à gauche du premier rectangle vert en fonction de , et :
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à gauche des rectangles verts en fonction de , et :
Déterminer l'aire à droite du premier rectangle rouge en fonction de de , et :
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à droite des rectangles rouges en fonction de , et :

$val47

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val50

Construction de la courbe par la méthode des sécantes

$val36

$val37

Découpage de la courbe en intervalles :

Soit et deux nombres réels définis tel que .
Dans un intervalle continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction on découpe l'intervalle en un nombre fini de intervalles.

$val35

Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index :

On souhaite relier l'ensemble des points précédement tracés en calculant chacune des équations de droites de la forme passant par les points et .

À l'aide du graphique, déterminer les coordonnées de chacun des points en fonction de la fonction de et de .
Pour écrire correctement , taper x_i .Utiliser cette syntaxe ou .

;

;
Déterminer le coefficient directeur de cette droite en fonction de , de et de :
Déterminer l'ordonnée à l'origine de cette droite en sachant que le point appartient à la droite :

$val44

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val47

Construction de la courbe par la méthode des tangentes

$val36

$val37

Découpage de la courbe en intervalles :

Soit et deux nombres réels définis tel que .
Dans un intervalle continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction on découpe l'intervalle en un nombre fini de intervalles.

$val35

Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index :

On souhaite construire l'enveloppe des tangentes à la courbe représentative de la fonction . Par conséquent on va construire la tangente associée à chaque point .

À l'aide du graphique, déterminer les coordonnées du point .
Pour écrire correctement , taper x_i .

;
Calculer la dérivée de la fonction au point d'abscisse :
En déduire le coefficient directeur de la tangente au point en fonction de et de :
Soit en utilisant l'équation générale de la tangente soit en utilisant le fait que le point appartient à la tangente, déterminer l'ordonnée à l'origine de cette tangente. On l'exprimera à l'aide des fonctions et ainsi que :

$val45

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val48

Méthode des trapèzes

$val36

$val38

Découpage de la courbe en intervalles :

Soit et deux nombres réels définis tel que .
Dans un intervalle continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction on découpe l'intervalle en un nombre fini de intervalles.

$val35

Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index :

Après avoir découper l'intervalle , on utilise la méthode des trapèzes.

$val37

Déterminer l'aire du premier rectangle violet en fonction de , et :
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des rectangles violets en fonction de , et :

$val46

Représentation graphique de la courbe avec les points et les droites créées $val49

Méthode par balayage classique (guidée)

Méthode par balayage avec seuil (guidée)

Méthode par balayage classique

Méthode par balayage avec seuil

Méthode par balayage avec une fonction

Construction de la courbe par la méthode de balayage en utilisant une boucle for

Méthode par dichotomie

Équation cartésienne d'une droite

Équation réduite d'une droite

Équation réduite d'une droite 2

Construction de la courbe par la méthode d'Euler

Construction de la courbe par la méthode d'Euler 2

heron 1

heron 2

Méthode des milieux

Méthode des rectangles

Construction de la courbe par la méthode des sécantes

Construction de la courbe par la méthode des tangentes

Méthode des trapèzes