Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

I Expression sans parenthèses
II Expression avec parenthèses
III Simplification d'écriture
IV Distributivité
V Distributivité et calcul mental

Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses
III Simplification d'écriture
IV Distributivité
V Distributivité et calcul mental

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses
III Simplification d'écriture
IV Distributivité
V Distributivité et calcul mental

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$83.9-32.4-4.8-25.4$
$A$	=	$51.5-4.8-25.4$
$A$	=	$46.7-25.4$
$A$	=	$21.3$

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques I Expression sans parenthèses I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

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IV Distributivité
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Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$35-6\times 3$
$A$	=	$35-18$
$A$	=	$17$

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$99\times 8+9\times 8$
$A$	=	$792+72$
$A$	=	$864$

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques I Expression sans parenthèses I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

I Expression sans parenthèses

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Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$153+(32-6)\times 4$
$A$	=	$153+26\times 4$
$A$	=	$153+104$
$A$	=	$257$

Remarque

Comme pour le calcul de $A$, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression $B$]

$B$	=	$3\times (10+(12-8))$
$B$	=	$3\times (10+4)$
$B$	=	$3\times 14$
$B$	=	$42$

Remarque

Comme pour le calcul de $B$, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression $C$]

$C$	=	$25+(26-2\times 7)\times 2$
$C$	=	$25+(26-14)\times 2$
$C$	=	$25+(12)\times 2$
$C$	=	$25+24$
$C$	=	$49$

Remarque

Comme pour le calcul de $C$, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.

Sur les expressions numériques II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

I Expression sans parenthèses
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IV Distributivité
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Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( ) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

1. Le produit $15\times h$ peut s'écrire $15h$ ;
2. le produit $h\times m$ peut s'écrire $hm$ ;
3. le produit $5\times (m+15)$ peut s'écrire $5(m+15)$. On dit $5$ facteur de $m+15$ ;
4. le produit $15\times (h-5)$ peut s'écrire $15(h-5)$. On dit $15$ facteur de $h-5$;
5. le produit $h\times h$ peut s'écrire $h^2$. On dit $h$ au carré. De même on a $15\times 15={15}^2$ ce qui vaut $225$.

Remarque [Attention]

Le signe est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, $15\times 5$ ne s'écrit pas $155$ puisque cela vaut $75$.

Sur les expressions numériques III Simplification d'écriture

IV Distributivité

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IV Distributivité

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IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

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IV Distributivité

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Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

$\begin{array}{ccc}k(a+b)& =& ka+kb\\ k(a-b)& =& ka-kb\end{array}$

$\begin{array}{ccc}(a+b)k& =& ak+bk\\ (a-b)k& =& ak-bk\end{array}$

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer $A$]

$A$	=	$6\times (12+11)$
$A$	=	$6\times 12+6\times 11$
$A$	=	$72+66$
$A$	=	$138$
$A$	=	$6\times (12+11)$
$A$	=	$6\times 23$
$A$	=	$138$

Exemple [Calculer $B$]

$B$	=	$10\times 11-4\times 11$
$B$	=	$(10-4)\times 11$
$B$	=	$6\times 11$
$B$	=	$66$
$B$	=	$10\times 11-4\times 11$
$B$	=	$110-44$
$B$	=	$66$

Un côté du rectangle rouge mesure $a$. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure $k$. L'autre côté du rectangle bleu mesure $b$.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont $k$ et $a+b$.

IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer

Sur les expressions numériques IV Distributivité IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

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IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :

1. pour développer :
   $10\times (16-8)$ = $10\times 16-10\times 8$
2. pour factoriser :
   $6\times 15-6\times 8=6\times (15-8)$

IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer

Sur les expressions numériques IV Distributivité IV-2 Développer, factoriser

V Distributivité et calcul mental

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III Simplification d'écriture
IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons $A$]

$A$	=	$312\times 8$
$A$	=	$312\times (10-2)$
$A$	=	$312\times 10-312\times 2$
$A$	=	$3120-624$
$A$	=	$3744$

Exemple [Calculons $B$]

$B$	=	$4\times 2298+6\times 2298$
$B$	=	$2298\times (6+4)$
$B$	=	$2298\times 10$
$B$	=	$22980$

Sur les expressions numériques V Distributivité et calcul mental

document sur les expressions numériques.
: expression, calcul, factorisation, distributivité, simplification, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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• Description: document sur les expressions numériques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
• Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, expression, calcul, factorisation, distributivité, simplification