Algorithme avec Python
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 19 activités sur les algorithmes.
Le but de l'ensemble des exercices est de permettre aux élèves d'apréhender les algorithmes
relatif au Lycée Générale et Technologique.
Un script python à compléter permet de comprendre l'algorithme. Pour aider les élèves, une représentation
graphique vient illustrer le fonctionnement du code. Le but est de travailler de concert dans des
cadres algébriques, graphiques et algorithmiques afin de maîtriser la notion abordée.
Méthode par balayage classique (guidée)
Étape
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Représentation graphique de la courbe
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de
à
. Les valeurs des images peuvent être arrondi au centième.
Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur approchée de
à
?
La valeur arrondie à
est donc
Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre
ou
. Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.
Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de
.
Méthode par balayage avec seuil (guidée)
Étape
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Représentation graphique de la courbe
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de
à
. Les valeurs des images peuvent être arrondi au centième.
Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur approchée de
à
?
La valeur arrondie à
est donc
Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre
ou
. Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.
Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de
.
Méthode par balayage classique
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer la valeur approchée de
à
.
La valeur arrondie à
est donc
Méthode par balayage avec seuil
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer la valeur approchée de
à
.
La valeur arrondie à
est donc
Méthode par balayage avec une fonction
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer la valeur approchée de
à
.
La valeur arrondie à
est donc
Construction de la courbe par la méthode de balayage en utilisant une boucle for
Découpage de la courbe en
intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tel que
.
Dans un intervalle
continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction
on découpe l'intervalle en un nombre fini de
intervalles. - Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Méthode par dichotomie
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, la valeur arrondie à
de
est donc
.
Équation cartésienne d'une droite
Déterminer une équation cartésienne de la droite
est :
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Équation réduite d'une droite
Déterminer une équation réduite de la droite
et
sont connues :
Pour écrire correctement
, taper x_A . Pour écrire correctement
, taper y_A ...
Déterminer la valeur du coefficient directeur sous forme fractionnaire si nécessaire :
Donner l'équation réduite de la droite en utilisant les calculs précédents :
Le point
appartient à la droite
donc on peut écrire l'équation suivante :
Résoudre l'équation précédente et déterminer la valeur de
.
En déduire l'équation réduite de la droite
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Équation réduite d'une droite 2
Déterminer une équation réduite de la droite
et laisser l'autre champ vide :
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Construction de la courbe par la méthode d'Euler
Approximation affine d'une fonction :
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
et
. La fonction
peut être approchée par une fonction affine au voisinage de
. L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction au voisinage d’un point par celle d'une fonction affine tangente à ce point. Graphiquement on considère que les points
et
sont confondues lorque
est proche de 0.
- Déterminer l'équation de la tangente en fonction de
,
,
et
.
Pour écrire correctement
, taper x_0 .
- Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse
en fonction de
,
,
et
?
Pour
proche de zéro,
- Vérifier la validité de cette formule sur un exemple :
Pour
proche de zéro,
Arrondir les résultats au millième. À l'aide de l'approximation, on a
La valeur exacte est de
Application à la fonction exponentielle :
La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe
de la fonction
en utilisant l'approximation affine.
- À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée
du point
en fonction de la fonction
et de
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- Généraliser cette écriture en exprimant
en fonction de
et
.
- Généraliser l'écriture de
en fonction de
et
.
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Construction de la courbe par la méthode d'Euler 2
Approximation affine d'une fonction :
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
et
. La fonction
peut être approchée par une fonction affine au voisinage de
. L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction au voisinage d’un point par celle d'une fonction affine tangente à ce point. Graphiquement on considère que les points
et
sont confondues lorque
est proche de 0.
- Déterminer l'équation de la tangente en fonction de
,
,
et
.
Pour écrire correctement
, taper x_0 .
- Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse
en fonction de
,
,
et
?
Pour
proche de zéro,
- Vérifier la validité de cette formule sur un exemple :
Pour
proche de zéro,
Arrondir les résultats au millième. À l'aide de l'approximation, on a
La valeur exacte est de
Application à la fonction exponentielle :
La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe
de la fonction
en utilisant l'approximation affine.
- À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée
du point
en fonction de la fonction
et de
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- Généraliser cette écriture en exprimant
en fonction de
et
.
- Généraliser l'écriture de
en fonction de
et
.
- En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de
en fonction de
et
.
- En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de
en fonction de
et
.
- En déduire une expression de
en fonction de
et
.
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
heron 1
ÉTAPE sur 5
La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.
| Étape | Largeur | Longeur | Moyenne arithmétique
| Moyenne arithmétique au carré |
|---|
| 1 |
|
|---|
| 1 | | | | |
|---|
| 2 |
|
|---|
| 2 | | | | |
|---|
| 3 |
|
|---|
| 3 | | | | |
|---|
| 4 |
|
|---|
| 4 | | | | |
|---|
Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :
- Nommer la figure obtenue :
- Quelle est l'aire théorique de cette figure :
- Quelle est la distance théorique d'un côté :
٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme
Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de
traité précédement. Exécuter la fonction en prenant soin de spécifier la précision adéquate.
Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :
Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable
. Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :
| Racine carré | Précision | Valeur de la racine | Nombre d'itération |
|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
heron 2
ÉTAPE sur 5
La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.
| Étape | Largeur | Longeur | Moyenne arithmétique
| Moyenne arithmétique au carré |
|---|
| 1 |
|
|---|
| 1 | | | | |
|---|
| 2 |
|
|---|
| 2 | | | | |
|---|
| 3 |
|
|---|
| 3 | | | | |
|---|
| 4 |
|
|---|
| 4 | | | | |
|---|
Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :
- Nommer la figure obtenue :
- Quelle est l'aire théorique de cette figure :
- Quelle est la distance théorique d'un côté :
٭Modéliser cette suite par récurrence pour calculer
Compléter le tableau en utilisant les résultats précédents.
| n |
| Moyenne arithmétique
|
|---|
| 0 |
|
|---|
| 1 |
|
|---|
| 2 |
|
|---|
| 3 |
|
|---|
En déduire la suite définie par récurrence pour calculer
.
L'expresion
se rentre "u_n". Par analogie, l'expression
se rentre "u_0" ...
On définit la suite
par :
- le premier terme :
- la relation de récurrence :
٭Étudier graphiquement la convergence de la suite pour calculer
٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme
Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de
traité précédement. Exécuter la fonction en prenant soin de spécifier la précision adéquate.
Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :
Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable
. Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :
| Racine carré | Précision | Valeur de la racine | Nombre d'itération |
|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Méthode des milieux
Découpage de la courbe en
intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tel que
.
Dans un intervalle
continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction
on découpe l'intervalle en un nombre fini de
intervalles. - Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Après avoir découper l'intervalle
, on utilise la méthode des milieux.
- Déterminer l'aire du premier rectangle orange en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des rectangles oranges en fonction de
,
et
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Méthode des rectangles
Découpage de la courbe en
intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tel que
.
Dans un intervalle
continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction
on découpe l'intervalle en un nombre fini de
intervalles. - Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Après avoir découper l'intervalle
, on utilise la méthode des rectangles à droite et à gauche.
- Déterminer l'aire à gauche du premier rectangle vert en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à gauche des rectangles verts en fonction de
,
et
Déterminer l'aire à droite du premier rectangle rouge en fonction de de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à droite des rectangles rouges en fonction de
,
et
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Construction de la courbe par la méthode des sécantes
Découpage de la courbe en
intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tel que
.
Dans un intervalle
continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction
on découpe l'intervalle en un nombre fini de
intervalles. - Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
On souhaite relier l'ensemble des points précédement tracés en calculant chacune des équations de droites de la forme
passant par les points
et
.
Déterminer l'ordonnée à l'origine de cette droite en sachant que le point
appartient à la droite :
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Construction de la courbe par la méthode des tangentes
Découpage de la courbe en
intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tel que
.
Dans un intervalle
continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction
on découpe l'intervalle en un nombre fini de
intervalles. - Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
On souhaite construire l'enveloppe des tangentes à la courbe représentative de la fonction
. Par conséquent on va construire la tangente associée à chaque point
.
En déduire le coefficient directeur de la tangente au point
en fonction de
et de
Soit en utilisant l'équation générale de la tangente soit en utilisant le fait que le point
appartient à la tangente, déterminer l'ordonnée à l'origine de cette tangente. On l'exprimera à l'aide des fonctions
et
ainsi que
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
Méthode des trapèzes
Découpage de la courbe en
intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tel que
.
Dans un intervalle
continue quelconque, il existe une infinité de valeurs. Pour construire une approximation de la représentation graphique de la fonction
on découpe l'intervalle en un nombre fini de
intervalles. - Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survollant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre d'intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Après avoir découper l'intervalle
, on utilise la méthode des trapèzes.
- Déterminer l'aire du premier rectangle violet en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des rectangles violets en fonction de
,
et
Représentation graphique de la courbe
avec les points et les droites créées
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