OEF Réduction d'endomorphismes
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 16 exercices sur la réduction
des endomorphismes et les classes de similitude (niveau L3).
La représentation en partitions est évoquée dans deux exercices
et sera développée plus tard (exercices en préparation).
Partitions et décomposition de Frobenius
Soit
un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie
. Les invariants de similitude sont
de degrés respectifs . Dessiner le diagramme de Young associé à l'endomorphisme
Matrice de Jordan et noyaux itérés
La matrice
suivante est telle que
est nilpotente.
Donner les dimensions des noyaux de
Jordan et invariants de similitude
La matrice
suivante est telle que
est nilpotente.
Donner les invariants de similitude de
en indiquant la liste des exposants
Partitions et décomposition de Jordan
La matrice
suivante est telle que
est nilpotente. Dessiner le diagramme de Young associé à la matrice
Quelle est la dimension du noyau de
?
Nombre de classes de similitude I
Donner le nombre de
des matrices à coefficients dans 
de polynôme caractéristique
(décomposition de
en facteurs irréductibles)
Nombre de classes de similitude II
Donner le nombre de
des matrices à coefficients dans de polynôme caractéristique
(décomposition de
en facteurs irréductibles) et de polynôme minimal
Nombre de classes de similitude III
On associe à une matrice sur un corps
la suite de ses invariants de similitudes
, ...,
vérifiant
Donner la longueur de la suite possible la plus longue
La longueur de la suite possible la plus longue est
(vous vous êtes trompé)
sachant que le polynôme caractéristique de la matrice est
(décomposition de
en facteurs irréductibles) et que le polynôme minimal est
.
L'exercice comporte deux étapes.
Donner un exemple d'une telle suite :
(
) 
(
)
Endomorphisme semisimple
Soit un endomorphisme
diagonalisable. Dans une certaine base, sa matrice est
Dessiner (dans la même base) une matrice commutant avec
en mettant les coefficients pouvant ne pas être nuls en bleu.
The most recent version
Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que
WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne
sont pas des fichiers
HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE.
Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.
- Description: collection d'exercices sur la réduction des endomorphismes (méthode de Jordan, Chevalley, Dunford). interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, mathematics, linear_algebra, algebra, endomorphism_reduction